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Problema. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Ecuación de segundo grado. Suma gaussiana.

Este problema forma parte del examen del XI Torneo de Matemáticas, para alumnado de 6º de Primaria del 1 de abril de 2017, promovida por la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas Isaac Newton.

Aldo y Bruno organizan un viaje por Italia en bicicleta. Bruno ha planeado recorrer 50 kilómetros por día. Aldo está planeando viajar 50 km en el primer día y aumentar la distancia recorrida 1 km cada día. En otras palabras, recorrerá 50 km en el primer día, 51 el segundo, 52 el tercero, y así sucesivamente. Bruno parte el 1 de abril, Aldo parte el 3 de abril. ¿En qué día Aldo alcanzará a Bruno? (En la respuesta indica la fecha del día).

En este vídeo se resuelve planteando una ecuación de segundo grado. Seguimos una serie de pasos:

1) Lo primero es entender bien el problema y qué es lo que se pide.

2) A continuación decidimos qué es la incógnita (la llamamos x en este caso), y la definimos muy claramente. La incógnita debe estar definida sin ningún tipo de ambigüedad para que el siguiente paso nos resulte más sencillo. En este caso llamamos x al número de días que han pasado contados a partir del 1 de abril.

3) Expresamos el resto de conceptos relevantes que intervienen en el problema en función de la incógnita (de x). En este caso tenemos dos conceptos relevantes: los km que ha hecho Bruno en función x y los km que ha hecho Aldo también en función de x (del número de días que han pasado contados a partir del 1 de abril).

4) Igualamos ambas expresiones, obteniendo una ecuación. De esta ecuación obtenemos el valor de x para el que ambos ciclistas han recorrido exactamente la misma distancia.

Una observación: en el paso 3, al expresar en función de x los km que ha recorrido Aldo, nos aparece un sumatorio… Se trata de una suma gaussiana o sumatorio de Gauss. Consiste en la suma de números naturales desde 1 hasta n (n puede ser tan grande como queramos). Hay una fórmula que nos simplifica la suma gaussiana, así que no es algo de lo que preocuparse… Puedes ver la fórmula, con su demostración, en este vídeo:

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Suma gaussiana o sumatorio de Gauss (fórmula para sumar n números). Demostración.

¿Cómo sumar los números desde 1 hasta n de forma rápida? En este vídeo se demuestra la fórmula que lo permite: [Sumatorio desde i = 1 hasta n] = [n · (n+1)] / 2

Aunque no está demostrado que ocurriera exactamente así, cuentan que el maestro de matemáticas de Gauss, Büttner, castigó a toda la clase con sumar todos los números naturales desde el 1 hasta el 100, supongo que para estar él tranquilamente relajado un rato… Este tipo de trucos es habitual cuando los profesores estamos a punto del bloqueo por saturación. Casi de forma instantánea Gauss tenía la respuesta correcta: 5050. Me imagino la cara de odio de Büttner, al que ni siquiera le había dado tiempo de abrir el periódico.

En el siguiente vídeo puedes ver un ejemplo de problema para el que es útil la fórmula de la suma gaussiana:

Entre los logros de Gauss, tenemos*: 1) Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara. 2) A los 3 años corrigió a su padre una operación que estaba realizando relacionada con pagos de salarios a los trabajadores que tenía a su cargo. 2) A los 7 años el profesor castigó a toda la clase con sumar todos los números naturales desde el 1 hasta el 100 y casi de forma instantánea Gauss tenía la respuesta correcta: 5.050 3) A los 10 años Johann Carl Friedrich Gauss ya había descubierto dos métodos para calcular raíces cuadradas de números de 50 cifras decimales y hasta encontró pequeños errores en tablas logarítmicas que cayeron en sus manos. 4) A los doce años ya miraba con cierto recelo los fundamentos de la geometría. 5) A los 15 años aprendió y dominó el griego y el latín en muy poco tiempo. A los 17 o 18 años no tenía muy claro si dedicarse de lleno a las matemáticas o a la filología. 6) Antes de los 17 años Johann Carl Friedrich Gauss ya había descubierto la ley de los mínimos cuadrados, lo que indica su temprano interés por la teoría de errores de observación y su distribución. 7) Su primer gran resultado en 1796 (a los 19 años) fue la demostración de que se puede construir un heptadecágono, un polígono regular de 17 lados, con regla y compás en el sentido clásico de este tipo de construcciones. En solo seis meses, Gauss resolvió un problema que matemáticos habían intentado solucionar durante 2.000 años. 8) Con 22 años fue el primero en probar rigurosamente el teorema fundamental del álgebra ( para su tesis doctoral en 1799). 9) Con 24 años publicó el libro Disquisitiones arithmeticae. Ese mismo año predijo la órbita de Ceres aproximando parámetros por mínimos cuadrados. 10) Con 32 años fue nombrado director del Observatorio de Gotinga. En este mismo año publicó Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium, describiendo cómo calcular la órbita de un planeta y cómo refinarla posteriormente. Profundizó sobre ecuaciones diferenciales y secciones cónicas. 11) En 1835, con 58 años, Carl Friedrich Gauss formularía la ley de Gauss, o teorema de Gauss. Esta ley sería una de sus contribuciones más importantes en el campo del electromagnetismo, y de ella derivarían dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell. 12) Y lo más difícil de todo: se casó dos veces y tuvo tres hijos con cada una… Impresionante.

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Probabilidades al elegir uno o varios sobres al azar. PRUEBA DE Acceso A Ciclos Formativos DE Grado Superior 2017.

Este ejercicio de probabilidad salió en la prueba de acceso a ciclos formativos de grado superior de Canarias en 2017. Tiene tres preguntas diferentes con cuatro posibles respuestas cada una. Pues ojo: la tercera está mal. Ninguna de las 4 posibilidades es la correcta. En este vídeo te lo explico.

7) Tenemos 10 sobres sobre la mesa, cada uno de ellos tiene en su interior una tarjeta donde se puede leer uno de los municipios que se relacionan en el ejercicio anterior.

Si nos dan a elegir un sobre, ¿cuál es la probabilidad de que el municipio elegido esté en Tenerife? Señala la opción correcta:

a) 0,2

b) 0,3

c) 0,5

d) 2

Si nos dan a elegir dos sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los municipios de los elegidos esté en Tenerife? Señala la opción correcta:

a) 8 / 15

b) 3/ 10

c) 5/ 10

d) 3 / 15

Si nos dan a elegir tres sobres, ¿cuál es la probabilidad de que los tres municipios elegidos estén en Tenerife? Señala la opción correcta:

a) 8 / 15

b) 3/ 10

c) 5/ 10

d) 3 / 15

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Truco para memorizar razones trigonométricas de ángulos notables

Cuando empezamos a ver trigonometría es habitual que nos tengamos que aprender de memoria el seno, el coseno y la tangente de los ángulos notables (0º, 30º, 45º, 60º, y 90º). Con este truco te resultará mucho más fácil memorizar estas razones trigonométricas de los ángulos notables.

Con recordar solo una pequeña cosa (raíz cuadrada «de algo» dividido entre 2), ya todo lo demás sale solo. Es tan fácil que me da rabia que nadie me lo dijera cuando yo me las tuve que aprender. Jeje.

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Prueba acceso grado medio. Canarias. Estadística. Diagrama barras. Moda. Media aritmética. Mediana.

Este es el ejercicio 10 de la prueba de acceso a ciclos formativos de grado medio de Canarias en 2017.

10) En una partida de parchís un jugador ha lanzado su dado varias veces. En la siguiente gráfica se puede observar los resultados obtenidos hasta el momento.
a) Calcula la media, la mediana y la moda.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento salga un 4?
c) ¿En qué porcentaje de lanzamientos ha obtenido un número par?
d) ¿El dado está trucado? Razona tu respuesta.

La media aritmética, la moda y la mediana son medidas o parámetros de centralización de una distribución de datos. Estos parámetros nos indican alrededor de qué valor de la variable están los datos,

La probabilidad de que en el siguiente lanzamiento de dado salga un 4 es la misma de siempre… 1/6. No se dice por ningún lado que el dado esté trucado, así que…

¿El dado está trucado? Pues, no. Son muy pocos lanzamientos de dado. No es suficiente para extraer conclusiones. Así que mientras no se demuestre lo contrario, es un dado normal.

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Prueba de acceso a grado medio. Áreas y volúmenes. Prisma triangular y rectangular. Paralelepípedo.

Este es el ejercicio 2 de la prueba de acceso a ciclos formativos de grado medio de Canarias en 2017.

2) A continuación se muestra las dimensiones de una casa que queremos reparar arreglando el tejado, pintando las paredes exteriores e instalando calefacción.
Los precios para la reforma son de:
Reforma del tejado 6€/m2
Pintura de fachada 3€/m2
Calefacción 500€/165 m3
a) ¿Cuánto costaría pintar las 4 paredes? Puerta y ventanas incluidas.
b) ¿Cuánto costaría arreglar el tejado?
c) ¿Cuánto costaría instalar calefacción en toda la casa?

Para el apartado a debemos calcular el área de las 4 paredes. Dos de ellas son rectángulos [Área=Base·Altura] , y las otras dos son figuras compuestas por un rectángulo y un triángulo [Área = Base·Altura / 2].

En el apartado b hay que calcular el área de los dos rectángulos que forman el tejado. Será necesario aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de esos rectángulos. Si lo necesitas, puedes repasar cómo usar el teorema de Pitágoras aquí: https://youtu.be/QukMRfp5Plg

En el apartado c, debemos calcular el volumen de la casa. La parte de abajo es un prisma rectangular, es decir, un paralelepípedo [Volumen = Largo · Ancho · Alto].
La parte de arriba es un prisma triangular [Volumen = ÁreaBase · Altura].

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Prueba acceso grado medio. Canarias 2018. Interpretar gráficas de funciones.

Este es el ejercicio 3 de la parte de matemáticas de la prueba de acceso a ciclos formativos de grado medio de Canarias en 2018.

  1. El siguiente gráfico muestra el recorrido de ida y vuelta realizado por una guagua (línea continua) y un coche (línea discontinua) desde la capital de la isla a un pueblo. La gráfica relaciona la distancia a la que se encuentra cada uno de los vehículos de la capital y la hora del día. Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué distancia hay de la capital al pueblo?

b) ¿Cuántas paradas hizo la guagua? ¿Cuánto estuvo parada la guagua en total?

c) ¿A qué hora llegó el coche al pueblo?

d) ¿A qué hora adelantó un vehículo al otro cuando iban hacia el pueblo?

e) ¿A qué hora se cruzaron en sentido contrario?

f) ¿Qué distancia recorrió la guagua desde las 8:45 hasta las 10:30?

Para quien no hable canario, guagua es lo mismo que autobús.

En estos exámenes de acceso a Formación Profesional es muy habitual este tipo de preguntas en las que se muestra una gráfica que describe una situación real y de la que debemos obtener la información que nos pregunta.

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Prueba acceso grado medio . Canarias 2014. Geometría. Áreas. Triángulo. Cuadrado.

Este es el ejercicio 7 de la prueba de acceso a ciclos formativos de grado medio de Canarias en 2014

7) Calcula el área que está sombreada en la siguiente figura, se sabe que los lados del cuadrado miden 4 cm y dos de los vértices del triángulo sombreado están en los puntos medios de los lados del cuadrado.

La forma más fácil de calcular el área sombreada es calcular el área del cuadrado completo, y a esa superficie restarle el área de los triángulos, es decir, restarle la superficie de las esquinas que no están coloreadas.

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Prueba acceso grado medio. Canarias 2018. Estadística. Diagrama de barras. Moda. Media aritmética.

Este es el ejercicio 9 de la prueba de acceso a ciclos formativos de grado medio de Canarias en 2018.

  1. A un grupo de 14 estudiantes se les ha preguntado por el tiempo aproximado que dedica diariamente a jugar con la videoconsola. Los datos obtenidos quedan reflejados en el siguiente gráfico estadístico:
    a) Calcula la moda.
    b) Calcula la media aritmética.
    c) ¿Cuántos estudiantes dedican 2 o más horas a jugar diariamente a la videoconsola?

Tanto la moda como la media aritmética son medidas de centralización (o parámetros de centralización).
La moda es el dato que mayor frecuencia absoluta tiene, es decir, el dato que más se repite. En el caso de un diagrama de barras, es el dato al que le corresponde la barra más larga.
La media aritmética es la suma de todos los datos dividido entre el número de datos (N)


Si no entiendes algo, pregúntamelo utilizando los comentarios. También puedes sugerirme nuevos vídeos en los comentarios.

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Prueba acceso grado medio. Canarias 2016. Estadística. Diagrama de barras. Moda. Número de alumnos.

Este es el ejercicio 10 de la prueba de acceso a ciclos formativos de grado medio de Canarias del año 2016.

10) En un instituto se ha hecho una encuesta en la que se preguntaba al alumnado por el nombre de su fruta favorita. El siguiente diagrama de barras refleja los resultados.
Calcular la moda y el número de alumnos encuestados.

La moda es un parámetro estadístico de centralización. Es el dato que más se repite en la distribución, es decir, el que más frecuencia absoluta (fi) tenga. En el caso de un diagrama de barras, el dato que tenga la barra más larga es la moda.

Para obtener el número de alumnos sumamos las frecuencias absolutas de cada dato.

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División de polinomio DE GRADO 6 entre POLINOMIO de grado 3.

Ejercicio para practicar la división de polinomios de la manera tradicional.
Divide:
(x^6+31x^2-5x^5-8x+21)/(x^3-2x-7)
Da como resultado la suma de los coeficientes del cociente.
A)-1 B)-5 C)-6 D)2 E)7

Para dividir polinomios debemos hacer iteraciones de 3 pasos. Es decir debemos dar 3 pasos, y luego repetir y repetir hasta que el grado del dividendo sea menor que el del divisor.

Lo primero que debemos hacer es colocar los polinomios ordenados y completos, con los huecos que correspondan si falta algún monomio de algún grado.

Si hay algo que no entiendas en el vídeo, pregúntame en los comentarios.

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Prueba acceso grado medio Canarias 2016. Gráfica de una función. Interpretar gráfica.

Este es el ejercicio 9 de la prueba de acceso a ciclos formativos de grado medio de Canarias en 2016.

9) En la siguiente gráfica se muestra la temperatura que marcó el termómetro en un mismo lugar a la misma hora durante una semana.

a) ¿Cuál es la temperatura mínima registrada?

b) ¿Cuál es la temperatura máxima registrada?

c) ¿En qué días se registró la misma temperatura?

Este tipo de ejercicios es muy habitual en estas pruebas. En los ejercicios de interpretación de gráficas aparece la gráfica de una función y se hace una serie de preguntas sobre la información contenida en la gráfica.

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